九上期末质检复习系列——纯函数系列（11）

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【试题】已知二次函数y=x²+2x+m的图象C₁与x轴有且只有一个公共点．

（1）求C₁的顶点坐标；

（2）将C₁向下平移若干个单位后，得抛物线C₂，如果C₂与x轴的一个交点为A（﹣3，0），求C₂的函数关系式，并求C₂与x轴的另一个交点坐标；

（3）若P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的两点，且y₁＞y₂，求实数n的取值范围．

【解析】

（1）简析：由于二次函数y=x²+2x+m的图象C₁与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0或者△＝0，由此可以求m的值．

      因y=x²+2x+m=（x+1）²+m﹣1，对称轴为直线x=﹣1，且与x轴有且只有一个公共点，顶点的纵坐标为0，C₁的顶点坐标为（﹣1，0）.

      或：由△=2²-4m=4－4m=0，解得m=1，…….

（2）因将抛物线上下平移，因此可设所求抛物线解析式为y=（x+1）²+k，同时平移后的抛物线经过点A（﹣3，0），直接代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；详细过程如下：
      设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，把A（﹣3，0）代入上式得（﹣3+1）²+k=0，得k=﹣4，

      ∴C₂为y=（x+1）²﹣4．

      ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且与x轴的一个交点为A（﹣3，0），

      ∴根据抛物线的对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）.

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（3）解题思路：由于y=x²+2x+m=（x+1）²+m﹣1，所以抛物线的对称轴为直线x=﹣1，根据二次函数的图象的性质可知：当x≥﹣1时，y随x的增大而增大，因此应分n≥﹣1和n≤﹣1两种情况进行讨论，进一步得到n的取值．具体分析如下：

      因当x≥﹣1（对称轴的右边）时，y随x的增大而增大，所以：

      当n≥﹣1时，由“P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的两点，且y₁＞y₂”可知：因为y₁＞y₂，所以n＞2．

      当n＜﹣1时，因对称轴为x=－1，P（n，y₁）的对称点坐标为（﹣2﹣n，y₁），且﹣2﹣n＞﹣1.由“P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的两点，且y₁＞y₂”可知：因为y₁＞y₂，所以﹣2﹣n＞2，即n＜﹣4．

      综上所述：n＞2或n＜﹣4．

【反思】抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，结合抛物线平移的性质和增减性（单调性）进行分析是解题的关键．

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